여론조사의 표본오차

여론조사에서 "표본 오차"는 비율 추정의 오차범위(margin of error)를 나타내는 표현
오차범위의 단위: 퍼센트포인트(%p)
- 예: 찬성률 52%, 오차범위 ±3%p → 신뢰구간 49%에서 55%
설문 응답자 수가 커질수록 오차범위는 작아짐

여론조사 결과에 표시된 표본오차 예시

표본오차의 계산

단순무작위표집, 모집단이 표본보다 충분히 큰 상황을 가정한 정규근사
신뢰수준 95%에서 찬성률 50%를 기준으로 오차범위 계산
- 찬성률 50%: 비율의 변산성이 가장 큰 보수적 상황
- $1.96$ : 95% 신뢰수준의 임계값
- $n$ : 설문 응답자 수
- $E$ : 오차범위의 한쪽 폭, %p 단위

E = 1.96 \frac{50}{n}

조사 결과의 오차범위는 $\pm E$ 로 표시
아래 공식의 표본오차는 질문 문항이나 무응답으로 인한 편향까지 포함하는 값은 아님

여론조사에서 일반식이 적용되는 이유

응답을 찬성은 1, 반대는 0으로 나타내면 찬성률은 이 값들의 평균
- 예: 1,000명 중 520명이 찬성하면 평균은 $520/1000 = 0.52$ , 찬성률은 52%
$X_{i}$ : 응답자 $i$ 의 0 또는 1 응답
$p$ : 모집단의 찬성 비율, 0과 1 사이의 값
$\overset{p}{^}$ : 표본에서 계산한 찬성 비율

\overset{p}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i} = \overset{ˉ}{X}

0과 1로 나타낸 응답의 분산은 $p (1 - p)$ , 표준편차는 $p (1 - p)$
응답을 독립적으로 무작위 추출하면 평균인 찬성 비율의 표준오차는 다음과 같음

SE (\overset{p}{^}) = \frac{p ( 1 - p )}{n}

일반식의 표준편차 자리에 $p (1 - p)$ 를 넣으면 비율의 오차범위 계산 가능
비율에 100을 곱해 백분율로 표시하므로 오차범위도 100을 곱해 %p 단위로 변환

E_{% p} \approx 1.96 \frac{100 p ( 1 - p )}{n}

모집단의 찬성 비율 $p$ 는 보통 알 수 없으므로 조사 규모를 계획할 때는 표준편차가 가장 큰 $p = 0.5$ 사용
- $0.5 (1 - 0.5) = 0.5$
- 백분율 단위의 표준편차는 $100 \times 0.5 = 50$
- 따라서 일반식의 표준편차 자리에 50을 넣어 보수적인 오차범위 계산

응답자 수로 오차범위 계산

응답자 1,000명일 때 오차범위 계산
파이썬 표준 라이브러리 math의 sqrt로 제곱근 계산

from math import ceil, sqrt

critical_value = 1.96  # 95% 신뢰수준의 임계값
max_std = 50  # 찬성률 50%일 때 백분율 단위의 표준편차
n = 1000

critical_value * max_std / sqrt(n)

실행 결과

3.0990321069650117

신뢰수준 95%에서 오차범위는 약 ±3.10%p

원하는 오차범위로 응답자 수 역산

원하는 오차범위가 $\pm E$ 이면 필요한 응답자 수는 다음 식을 만족

n \geq (\frac{1.96 \times 50}{E})^{2}

응답자 수는 정수이므로 계산 결과를 올림
ceil: 주어진 값 이상인 가장 작은 정수를 반환
margin_of_error: 원하는 오차범위의 한쪽 폭을 %p 단위로 입력
- ±10%p가 목표이면 10 입력

margin_of_error = 10  # 원하는 오차범위의 한쪽 폭: ±10%p
n_required = ceil((critical_value * max_std / margin_of_error) ** 2)
n_required

실행 결과

위의 가정과 정규근사에서 ±10%p 이내의 오차범위를 목표로 하면 최소 97명의 응답 필요
같은 신뢰수준과 찬성률 가정에서 오차범위를 절반으로 줄이려면 응답자 수가 약 4배 필요
반대로 응답자 수를 4배로 늘리면 오차범위는 절반으로 감소

퀴즈

문제 1 / 6맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 6

평균의 오차범위 식에서 표준오차가 나타내는 것은?

○크기가 같은 표본을 반복해서 뽑을 때 표본평균이 흔들리는 정도의 추정치
○표본 안에서 개별 관측값이 평균으로부터 흩어져 있는 정도
○모집단평균과 표본평균 사이에서 실제로 관측한 차이
○계산한 신뢰구간에서 하한부터 상한까지의 전체 폭

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

평균의 오차범위 식에서 표준오차가 나타내는 것은?

개별 값의 분포와 표본을 바꿀 때 평균이 이루는 분포를 구분하세요.

크기가 같은 표본을 반복해서 뽑을 때 표본평균이 흔들리는 정도의 추정치표본 안에서 개별 관측값이 평균으로부터 흩어져 있는 정도모집단평균과 표본평균 사이에서 실제로 관측한 차이계산한 신뢰구간에서 하한부터 상한까지의 전체 폭

크기가 같은 표본을 반복해서 뽑을 때 표본평균이 흔들리는 정도의 추정치

여론조사의 오차범위를 계산할 때 찬성률 50%를 가정하는 이유는?

찬성과 반대가 비슷하게 나뉠 때 표본비율이 얼마나 흔들릴 수 있는지 생각해 보세요.

비율의 변산성이 가장 커서 보수적인 조사 규모를 계산할 수 있기 때문에모든 여론조사에서 실제 찬성률이 50%이기 때문에95% 신뢰수준에서는 찬성률을 50%로 고정해야 하기 때문에찬성률 50%에서 필요한 응답자 수가 가장 적기 때문에

비율의 변산성이 가장 커서 보수적인 조사 규모를 계산할 수 있기 때문에

위 코드에서 목표 오차범위를 ±3%p로 설정하려면 margin_of_error에 넣을 값은?

변수에는 신뢰구간 전체의 폭이 아니라 한쪽 폭을 %p 단위로 입력합니다.

30.0360.06

역산한 응답자 수에 ceil을 사용하는 이유는?

소수로 계산된 인원보다 적게 조사하면 목표 오차범위를 충족하지 못할 수 있습니다.

계산 결과보다 적은 사람을 조사하지 않도록 정수로 올림하기 위해계산 결과의 소수 부분을 버려 조사 비용을 줄이기 위해목표 오차범위를 정수 퍼센트포인트로 바꾸기 위해95% 신뢰수준의 임계값을 자동으로 계산하기 위해

계산 결과보다 적은 사람을 조사하지 않도록 정수로 올림하기 위해

같은 신뢰수준과 찬성률 가정에서 목표 오차범위를 절반으로 줄이려면 필요한 응답자 수는 대략 어떻게 변하는가?

역산 공식에서 오차범위는 분모에 있고 제곱됩니다.

4배로 늘어난다2배로 늘어난다절반으로 줄어든다4분의 1로 줄어든다

4배로 늘어난다

역산 공식에서 계산한 필요한 응답자 수가 뜻하는 것은?

설문을 요청받은 모든 사람이 응답하는 것은 아닙니다.

실제로 분석에 포함할 유효 응답의 수설문 링크를 발송할 전체 사람 수설문에 포함할 질문 문항의 수같은 사람에게 설문을 다시 요청할 횟수

실제로 분석에 포함할 유효 응답의 수