이중차분법

처치집단과 비교집단의 전후 변화를 비교하는 이중차분법의 원리와 회귀분석 실습

인과효과와 반사실

인과효과: 같은 대상이 처치를 받았을 때와 받지 않았을 때의 결과 차이
반사실(counterfactual): 실제로 관측되지 않은 다른 조건에서의 잠재적 결과
한 대상에서 두 결과를 동시에 관측할 수 없으므로 반사실을 추정할 비교 기준이 필요
무작위 대조 실험은 무작위 할당으로 비교 가능한 집단을 구성
무작위 할당이 어려우면 정책 변화나 제도 차이에서 생긴 준실험적 조건을 활용

준실험

준실험(quasi-experiment): 처치가 무작위로 할당되지 않았지만 실험과 비슷한 비교 조건을 이용하는 연구 설계
처치집단과 비교집단의 차이를 이용해 처치가 없었을 때의 결과를 추정
이중차분법은 대표적인 준실험적 분석 방법

횡단 비교와 종단 비교

횡단 비교(cross-sectional comparison): 동일 시점에 서로 다른 집단을 비교
종단 비교(longitudinal comparison): 동일 집단을 서로 다른 시점에 비교

구분	집단 A	집단 B	횡단 비교
시점 1	$A_{1}$	$B_{1}$	$A_{1} - B_{1}$
시점 2	$A_{2}$	$B_{2}$	$A_{2} - B_{2}$
종단 비교	$A_{2} - A_{1}$	$B_{2} - B_{1}$

이중차분법

이중차분법(Difference-in-Differences, DiD): 처치집단 A와 비교집단 B의 전후 변화량 차이를 추정
무작위 대조군을 구성하기 어려울 때 처치를 받지 않은 비교집단을 반사실의 기준으로 활용
두 집단의 처치 전 수준이 같을 필요는 없지만, 처치가 없었을 때의 추세가 비교 가능해야 함

구분	처치집단 A	비교집단 B	집단 간 차이
처치 전	$A_{1}$	$B_{1}$	$A_{1} - B_{1}$
처치 후	$A_{2}$	$B_{2}$	$A_{2} - B_{2}$
전후 변화	$A_{2} - A_{1}$	$B_{2} - B_{1}$	$(A_{2} - A_{1}) - (B_{2} - B_{1})$

이중차분 추정값은 다음과 같이 계산합니다.

δ = (A_{2} - A_{1}) - (B_{2} - B_{1})

$δ = 0$ : 표본에서 두 집단의 전후 변화량이 같음
$δ \neq = 0$ : 표본에서 처치집단에 추가 변화가 관측됨
추정값이 0이 아니라는 사실만으로 처치 효과가 확인되는 것은 아님
통계적 유의성은 표준오차, $p$ 값, 신뢰구간을 함께 이용해 판단

평행 추세의 가정

평행 추세 가정(parallel trends assumption): 처치가 없었더라면 두 집단의 평균 결과가 같은 추세로 변했을 것이라는 가정
두 집단의 처치 전 결과 수준이 같아야 한다는 가정은 아님
여러 처치 전 시점의 자료가 있으면 추세가 유사했는지 점검 가능
평행 추세를 자료로 완전히 증명할 수는 없으며, 집단별로 다른 동시기 충격이 있었는지도 검토 필요
가정이 성립하지 않으면 이중차분 추정값을 처치의 인과효과로 해석하기 어려움

처치집단의 관측 결과와 평행 추세로 추정한 반사실을 비교하는 이중차분 그래프

회귀분석을 통한 이중차분법

GROUP: 처치집단은 1, 비교집단은 0
POST: 처치 후는 1, 처치 전은 0
GROUP × POST: 처치집단의 처치 후 관측치에서만 1인 교호작용항

y = β_{0} + β_{1} GR O U P + β_{2} P O S T + β_{3} (GR O U P \times P O S T) + ε

교호작용 계수 $β_{3}$ 가 이중차분 추정값에 해당합니다.

회귀계수의 해석

구분	처치집단	비교집단	집단 간 차이
처치 전	$β_{0} + β_{1}$	$β_{0}$	$β_{1}$
처치 후	$β_{0} + β_{1} + β_{2} + β_{3}$	$β_{0} + β_{2}$	$β_{1} + β_{3}$
전후 변화	$β_{2} + β_{3}$	$β_{2}$	$β_{3}$

$β_{0}$ : 비교집단의 처치 전 평균
$β_{1}$ : 처치 전 두 집단의 평균 차이
$β_{2}$ : 비교집단의 전후 변화
$β_{3}$ : 처치집단의 추가 변화, 즉 이중차분 추정값

$β_{3}$ 를 처치의 인과효과로 해석하려면 평행 추세를 비롯한 식별 가정이 필요합니다.

Card와 Krueger의 최저임금 연구

1992년 미국 뉴저지주는 최저임금을 시간당 4.25달러에서 5.05달러로 인상
이웃한 펜실베이니아주는 시간당 4.25달러를 유지
두 지역의 패스트푸드 음식점을 조사해 최저임금 인상 전후의 고용 변화를 비교
뉴저지를 처치집단, 펜실베이니아를 비교집단으로 설정

뉴저지와 펜실베이니아의 위치를 보여주는 미국 북동부 지도

최저임금 자료 분석

fte: 점포별 정규직 환산 고용 인원(full-time equivalent, FTE)
nj: 뉴저지는 1, 펜실베이니아는 0
d: 최저임금 인상 후는 1, 인상 전은 0
nj:d: 뉴저지의 인상 후 관측치에서만 1인 교호작용항

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols

mi = pd.read_excel("njmin3.xlsx")
ols("fte ~ nj + d + nj:d", data=mi).fit().summary()

노트북에서 모형에 사용된 관측치는 794개이며, 결정계수는 $R^{2} = 0.007$ 입니다.

항	계수	표준오차	$t$	$p$ 값	95% 신뢰구간
`Intercept`	23.3312	1.072	21.767	$< 0.001$	$[21.227, 25.435]$
`nj`	-2.8918	1.194	-2.423	0.016	$[- 5.235, - 0.549]$
`d`	-2.1656	1.516	-1.429	0.154	$[- 5.141, 0.810]$
`nj:d`	2.7536	1.688	1.631	0.103	$[- 0.561, 6.068]$

f t e = 23.3312 - 2.8918 nj - 2.1656 d + 2.7536 (nj \times d)

회귀계수를 이용해 집단과 시점별 평균을 계산하면 다음과 같습니다.

집단	인상 전	인상 후	전후 변화
펜실베이니아	23.3312	21.1656	-2.1656
뉴저지	20.4394	21.0274	0.5880

δ = 0.5880 - (- 2.1656) = 2.7536

뉴저지의 고용은 펜실베이니아보다 약 2.75 FTE 더 증가한 것으로 추정
교호작용항의 $p$ 값은 0.103이고 95% 신뢰구간은 0을 포함
5% 유의수준에서는 이중차분 효과가 0이라는 귀무가설을 기각할 근거가 부족
이는 효과가 없다고 입증한 것이 아니라, 0과 다른 효과를 확인할 통계적 증거가 충분하지 않다는 의미
낮은 $R^{2}$ 는 모형의 설명력에 관한 값이며, 통계적 유의성이나 인과적 식별과는 구분해서 해석

노트북 결과의 표준오차는 비강건 표준오차(nonrobust)입니다. 반복 측정 자료에서는 자료 구조에 맞는 표준오차를 별도로 검토할 필요가 있습니다.

퀴즈

문제 1 / 7맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 7

반사실(counterfactual)에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

○표본에서 관측된 처치집단의 처치 후 결과
○같은 대상이 실제와 다른 처치 조건에 있었을 때의 관측되지 않은 잠재적 결과
○두 집단의 처치 전 평균을 단순히 합한 값
○회귀분석에서 계산된 잔차의 평균

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

반사실(counterfactual)에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

한 대상에서는 실제로 선택된 조건의 결과만 관측된다는 점을 떠올려 보세요.

표본에서 관측된 처치집단의 처치 후 결과같은 대상이 실제와 다른 처치 조건에 있었을 때의 관측되지 않은 잠재적 결과두 집단의 처치 전 평균을 단순히 합한 값회귀분석에서 계산된 잔차의 평균

같은 대상이 실제와 다른 처치 조건에 있었을 때의 관측되지 않은 잠재적 결과

이중차분법의 비교집단에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

비교집단은 처치가 없었을 때 처치집단이 어떻게 변했을지를 추정하는 기준입니다.

처치집단과 처치 후 평균이 반드시 같은 집단처치 전 결과 수준이 처치집단과 정확히 같은 집단처치를 받지 않아 처치집단의 반사실적 변화 추세를 추정하는 데 사용하는 집단무작위 할당으로 처치집단에 포함된 일부 관측치

처치를 받지 않아 처치집단의 반사실적 변화 추세를 추정하는 데 사용하는 집단

처치집단이 A이고 비교집단이 B일 때 이중차분값을 계산하는 식은?

두 집단의 전후 변화량을 각각 계산한 뒤 처치집단의 변화에서 비교집단의 변화를 뺍니다.

(A_{2} - B_{2}) + (A_{1} - B_{1})

(A_{2} - A_{1}) + (B_{2} - B_{1})

(B_{2} - B_{1}) - (A_{2} - A_{1})

(A_{2} - A_{1}) - (B_{2} - B_{1})

(A_{2} - A_{1}) - (B_{2} - B_{1})

평행 추세 가정에 대한 설명으로 맞는 것을 모두 고르세요.

평행이라는 말은 시작점의 일치보다 처치가 없었을 때의 변화 경로에 관한 조건입니다.

두 집단의 처치 전 결과 수준은 반드시 같아야 한다처치가 없었더라면 두 집단의 평균 결과가 같은 추세로 변했을 것이라고 가정한다여러 처치 전 시점의 자료는 추세의 유사성을 점검하는 데 도움이 된다처치 후 두 집단의 결과가 같으면 평행 추세가 증명된다

처치가 없었더라면 두 집단의 평균 결과가 같은 추세로 변했을 것이라고 가정한다, 여러 처치 전 시점의 자료는 추세의 유사성을 점검하는 데 도움이 된다

회귀식 $y = β_{0} + β_{1} GR O U P + β_{2} P O S T + β_{3} (GR O U P \times P O S T) + ε$ 에서 이중차분값에 해당하는 계수는?

두 더미변수가 동시에 1일 때만 추가되는 항을 찾으세요.

β_{1}

β_{3}

β_{0}

β_{2}

β_{3}

최저임금 자료의 교호작용항 nj:d 결과에 대한 해석으로 가장 적절한 것은?

$p = 0.103$ 을 0.05와 비교하고 신뢰구간에 0이 포함되는지 확인하세요.

추정값은 2.7536이고

p < 0.05

이므로 양의 효과가 확인되었다추정값은 -2.7536이고 95% 신뢰구간이 0을 포함하지 않는다상대적 변화는 2.7536 FTE로 추정되지만

p = 0.103

이므로 5% 수준에서 0과 다른 효과라는 증거가 부족하다교호작용항이 정확히 0이므로 두 집단의 변화가 완전히 같다

상대적 변화는 2.7536 FTE로 추정되지만

p = 0.103

이므로 5% 수준에서 0과 다른 효과라는 증거가 부족하다

회귀계수로 계산한 뉴저지의 최저임금 인상 후 평균 FTE를 소수 넷째 자리까지 입력하세요.

절편, nj, d, nj:d의 네 계수를 모두 더합니다.

21.0274