확률

기본 개념

변수: 값이 변할 수 있는 대상
- 예: 선박 길이, 속도, 연료 사용량
상수: 변하지 않는 값
- 예: 고정된 기준값, 모델의 절편
모형: 현실의 관계를 단순화해서 표현한 수학적 구조

함수와 수열

함수: 입력값을 넣으면 하나의 출력값이 나오는 규칙
- $y = f (x)$
함수의 예: 선형 함수
- $y = a x + b$
- 입력이 증가하면 출력이 일정한 비율로 증가 또는 감소
수열: 일정한 순서로 나열된 숫자들의 모음
- 예: 시간에 따른 매출, 센서값, 주가, 온도

벡터와 행렬의 기초

벡터: 여러 개의 숫자를 한 줄로 모은 것
- 하나의 관측치나 하나의 데이터 포인트를 표현할 수 있음
- 예: 한 선박의 [길이, 폭, 속도, 중량]
행렬: 숫자를 행과 열로 배열한 것
- 여러 관측치와 여러 변수를 한 번에 표현
- 데이터셋은 보통 행렬 형태로 볼 수 있음
데이터 분석에서의 의미
- 행: 개별 사례
- 열: 변수
- 값: 각 사례가 가진 변수의 값

행렬 연산과 선형변환

행렬 연산
- 여러 변수의 값을 한 번에 계산하기 위한 방법
- 대량의 데이터를 효율적으로 처리할 수 있음
주요 연산
- 덧셈: 같은 위치의 값을 더함
- 스칼라 곱: 모든 값에 같은 숫자를 곱함
- 행렬 곱: 변수들의 조합을 계산함
선형변환
- 벡터나 데이터를 다른 좌표계 또는 다른 표현으로 바꾸는 연산
- 회전, 확대, 축소, 투영 등이 가능

표본공간과 사건

표본 공간(sample space): 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 모임
사건(event): 표본 공간의 부분 집합
예: 무작위로 한 학생을 선택하고 "청바지 몇 켤레를 가지고 있습니까?"라고 묻는다면
- 표본공간: $S = {0, 1, 2, 3, \dots}$
- 청바지가 없음: $A = {0}$
- 청바지가 있음: $B = {1, 2, 3, \dots}$
- 청바지를 5벌 이하 소유: $C = {1, 2, 3, 4, 5}$
- 홀수 벌의 청바지 소유: $D = {1, 3, 5, \dots}$

확률의 기초 개념

0과 1 사이의 숫자로 사건의 가능성을 표현한 것
- 0에 가까울수록 가능성이 없고, 1에 가까울수록 가능성이 높음
사건 $A$ 의 확률 $P (A)$ 는 다음 성질을 가짐
- 사건 $A$ 의 확률은 음이 아닌 실수: $P (A) \geq 0$
- 표본공간의 확률은 1: $P (S) = 1$
- $A_{1}, A_{2}, \dots$ 가 상호 배타적인 사건일 경우
  - $P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots$

사건에 확률을 할당하는 방법

수학적 확률
- $P (A) = \frac{N ( A )}{N ( S )}$
- $N (S)$ : 표본 공간의 크기
- $N (A)$ : 사건 $A$ 의 크기
통계적 확률
- $P (A) = \frac{m}{n}$
- 시행을 $n$ 번 반복했을 때, $A$ 가 $m$ 번 발생하면 사용
주관적 확률
- 믿음의 정도를 확률로 표현
- 예: 내가 응원하는 팀이 올해 우승할 확률은 40%다

확률의 성질

$P (A) = 1 - P (A^{c})$
$P (\emptyset) = 0$
$A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$
$P (A) \leq 1$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

조건부 확률과 베이즈 정리

$A$ 가 주어진 상태에서 $B$ 의 확률
- $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$
베이즈 정리
- $P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}$

조건부 확률의 예

137명의 사람을 검사했을 때
양성 반응의 확률
- $P (T^{+}) = \frac{44 + 10}{137}$
질병에 걸릴 확률
- $P (D^{+}) = \frac{44 + 23}{137}$
검사에서 양성 반응을 보였을 때, 질병에 걸렸을 조건부 확률
- $P (D^{+} ∣ T^{+}) = \frac{44}{44 + 10}$
질병에 걸렸을 때, 검사에서 양성 반응을 보일 조건부 확률
- $P (T^{+} ∣ D^{+}) = \frac{44}{44 + 23}$

실제 / 검사	양성( $T^{+}$ )	음성( $T^{-}$ )
질환( $D^{+}$ )	44	23
건강( $D^{-}$ )	10	60

곱셈 규칙

곱셈 규칙
- $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A)$
연쇄 규칙
- $P (A \cap B \cap C \cap \dots) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A \cap B) P (\dots ∣ A \cap B \cap C)$

독립 사건

사건 $A, B$ 가 독립( $A ⊥ B$ )이면
- $P (A ∣ B) = P (A)$
- $P (B ∣ A) = P (B)$
두 사건의 곱사건의 확률은
- $P (A \cap B) = P (A) P (B)$
$A ⊥ B$ 이면 다음도 성립
- $A ⊥ B^{c}$
- $A^{c} ⊥ B$
- $A^{c} ⊥ B^{c}$

퀴즈

문제 1 / 6맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 6

변수와 상수의 차이로 가장 적절한 것은?

○변수는 값이 변할 수 있고, 상수는 변하지 않는 값이다
○변수는 항상 0이고, 상수는 항상 1이다
○변수는 행렬에서만 쓰이고, 상수는 확률에서만 쓰인다
○변수와 상수는 같은 개념이다

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

변수와 상수의 차이로 가장 적절한 것은?

선박 길이처럼 관측마다 달라질 수 있는 값과 고정된 기준값을 구분.

변수는 값이 변할 수 있고, 상수는 변하지 않는 값이다변수는 항상 0이고, 상수는 항상 1이다변수는 행렬에서만 쓰이고, 상수는 확률에서만 쓰인다변수와 상수는 같은 개념이다

변수는 값이 변할 수 있고, 상수는 변하지 않는 값이다

표본공간(sample space)에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

시행 전에 가능한 결과를 빠짐없이 모아둔 전체 집합.

표본에서 반드시 발생한 하나의 결과만 담은 집합어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 모임확률이 항상 0인 사건데이터셋의 열 이름만 모은 목록

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 모임

확률의 기본 성질로 맞는 것을 모두 고르세요.

확률은 0과 1 사이에서 사건의 가능성을 표현.

P(A) >= 0P(S) = 1P(A) <= 1P(A)는 항상 2보다 크다

P(A) >= 0, P(S) = 1, P(A) <= 1

수학적 확률 P(A) = N(A) / N(S)에서 N(A)의 의미는?

분자는 관심 있는 사건에 포함된 결과의 개수.

표본공간 전체의 크기시행을 반복한 횟수사건 A의 크기사건 A가 절대 발생하지 않는다는 뜻

사건 A의 크기

조건부 확률 P(B|A)의 의미로 가장 적절한 것은?

세로 막대 오른쪽에 있는 사건이 이미 주어진 조건.

A와 B가 모두 불가능할 확률A가 주어진 상태에서 B가 일어날 확률B가 주어진 상태에서 A가 일어날 확률A와 B가 항상 독립이라는 뜻

A가 주어진 상태에서 B가 일어날 확률

두 사건 A, B가 독립일 때 성립하는 식으로 가장 적절한 것은?

독립이면 한 사건의 발생 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않음.

P(A ∩ B) = P(A) + P(B)P(A|B) = 0P(A ∩ B) = P(A)P(B)P(A) = 1 - P(B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B)