대응 표본

대응표본

• 대응표본(paired samples): 두 집단의 자료를 쌍으로 묶을 수 있을 때 평균 차이가 유의한지 검정하는 방법
• 동일한 개체를 전후로 측정하는 경우
  • 장비 개선 전후
  • 치료 전후 환자의 증상 개선 정도
  • 교육 프로그램 전후 학생의 시험 점수
• 쌍으로 관찰된 경우
  • 같은 차량의 좌우 두 바퀴
  • 남편과 아내의 비교
  • 쌍둥이 형제의 비교
  • 같은 날짜의 두 지역 온도 차이
• 두 집단의 자료를 쌍으로 묶어야 하므로, 독립표본과 달리 두 집단의 자료 개수가 같아야 함

대응표본 t-검정의 절차

• 각 쌍의 차이 $X_1-X_2$를 계산
• 귀무가설($H_0$): 쌍별 차이의 모집단 평균이 0. $E[X_1-X_2]=0$
• 차이의 평균과 표준편차를 계산
• 통계량을 계산해 t-분포에서 p-value를 계산
  • 자유도(df): $n-1$
• p-value가 유의수준(보통 0.05)보다 작으면 귀무가설 기각
  • $E[X_1-X_2]\ne 0$으로 판단

대응표본 t-검정 실습

• 각 설비에서 개선 전후 불량률(%) 측정 데이터 사용

import pandas as pd

df_paired = pd.read_excel("machine_defect_before_after.xlsx")

• 전후 차이(diff)를 만들고 기술통계 확인

df_paired["diff"] = df_paired["after"] - df_paired["before"]

df_paired[["before", "after", "diff"]].agg(["mean", "std"])

• pingouin의 ttest에서 paired=True를 지정해 대응표본 t-검정 수행

import pingouin as pg

pg.ttest(
    df_paired["before"],
    df_paired["after"],
    paired=True,
)

• 개선 전 평균: 3.186%
• 개선 후 평균: 2.726%
• after - before의 평균: -0.460%p
• 대응표본 검정: p_val=4.45e-10, CI95=[0.38, 0.54]
• 검정은 before - after를 계산하므로 신뢰구간은 양수
• 개선 후 불량률이 평균 0.46%p 감소

같은 자료를 독립표본으로 처리한 결과와 비교

pg.ttest(
    df_paired["before"],
    df_paired["after"],
)

• 독립표본 검정: p_val=0.000617, CI95=[0.21, 0.71]
• 대응 관계를 반영한 검정의 신뢰구간이 더 좁음

독립표본 t-검정과 대응표본 t-검정의 차이

• 독립표본 t-검정: 평균의 차이를 비교
• 대응표본 t-검정: 차이의 평균을 비교
• 평균의 차이와 차이의 평균 자체는 같음
• 하지만 표준편차가 달라져 신뢰구간이 달라짐
• 예: [1, 2, 3] vs. [2, 3, 4]
  • 독립표본일 경우: 평균 차이 -1, 합동 표준편차 1
  • 대응표본일 경우: 차이 [-1, -1, -1]의 평균 -1, 표준편차 0

독립표본과 대응표본의 예시

• 예시 데이터 생성

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
b = np.array([3, 3, 4, 5, 6])

• 독립표본 t-검정은 두 배열을 서로 독립적인 표본으로 보고 비교

pg.ttest(a, b)
# p_val=0.2268, CI95=[-3.31, 0.91]

• 독립표본일 경우 집단별 분산으로 합동 표준편차 계산

n_a, n_b = len(a), len(b)
pooled_sd = np.sqrt(
    ((n_a - 1) * a.var(ddof=1) + (n_b - 1) * b.var(ddof=1))
    / (n_a + n_b - 2)
)
pooled_sd
# 1.4491

• 대응표본 t-검정은 같은 위치에 있는 값들의 차이를 기준으로 검정

pg.ttest(a, b, paired=True)
# p_val=0.0039, CI95=[-1.76, -0.64]

• 대응표본일 경우 쌍별 차이의 표준편차를 봄

np.std(b - a, ddof=1)
# 0.4472

• b = [2, 3, 4, 5, 6]이면 모든 차이가 1이 되어 표준편차가 0
• 차이의 변동이 없으면 검정통계량이 유한하게 계산되지 않을 수 있음

전후 변화 시각화

• 같은 설비의 전후 값을 선으로 연결
• 대부분의 선이 아래로 내려가면 개선 후 불량률이 감소하는 경향으로 해석

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

df_long = df_paired.melt(
    id_vars="machine",
    value_vars=["before", "after"],
    var_name="timing",
    value_name="defect_rate",
)

sns.pointplot(data=df_long, x="timing", y="defect_rate", hue="machine")