교호작용

교호작용(interaction): 한 독립변수와 종속변수의 관계가 다른 독립변수의 값에 따라 달라지는 현상
선형 회귀에서는 두 독립변수의 곱으로 교호작용을 표현
x와 m의 교호작용항은 관계식에서 x:m으로 표시

y ~ x + m + x:m

관계식에서 x * m은 x + m + x:m과 같음

y = β_{0} + β_{1} x + β_{2} m + β_{3} x m + ϵ

$β_{0}$ : m = 0일 때의 절편
$β_{1}$ : m = 0일 때 x의 기울기
$β_{2}$ : x = 0에서 m = 1과 m = 0의 절편 차이
$β_{3}$ : m = 1과 m = 0의 기울기 차이

집단별 회귀식은 다음과 같음.

m = 0 : \overset{y}{^} = β_{0} + β_{1} x

m = 1 : \overset{y}{^} = (β_{0} + β_{2}) + (β_{1} + β_{3}) x

교호작용의 간단한 예

이해를 돕기 위한 간단한 예시
x는 연속형 변수
m은 0 또는 1로 코딩한 범주형 지시변수

교호작용이 없는 경우

관계식

y ~ x + m

m의 값에 따라 회귀선의 절편이 달라질 수 있음
x:m 교호작용항이 없으므로 m = 0과 m = 1의 기울기는 같음

절편은 다르고 기울기는 같은 두 집단의 회귀선

기울기가 달라지는 경우

관계식

y ~ x + x:m

m에 따라 x의 기울기가 바뀌는 것으로 해석
x:m 항은 x의 효과가 m의 값에 따라 달라지는지 나타냄
m의 주효과를 제외했으므로 x = 0에서 두 집단의 절편은 같음
절편이 같다는 제한이 타당할 때 사용하는 모형

절편은 같고 기울기는 다른 두 집단의 회귀선

기울기와 절편이 모두 달라지는 경우

관계식

y ~ x + m + x:m

m에 따라 x의 절편과 기울기가 모두 바뀌는 것으로 해석
m의 주효과는 x = 0에서의 절편 차이를 나타냄
x:m 교호작용은 두 집단의 기울기 차이를 나타냄

절편과 기울기가 모두 다른 두 집단의 회귀선

Python 교호작용

세 실습의 전체 코드와 출력은 interaction.ipynb에서 확인 가능.

import pandas as pd
import seaborn as sns
from statsmodels.formula.api import ols

절편만 다른 경우

d1 = pd.read_excel("diff_intercept.xlsx")
model_d1 = ols("y ~ x + m", data=d1).fit()
model_d1.summary()

$R^{2}$ : 0.993
절편: 20.3857, p-value < 0.001
x: 1.9659, p-value < 0.001
m: -17.1611, p-value < 0.001

m = 0 : \overset{y}{^} = 20.3857 + 1.9659 x

m = 1 : \overset{y}{^} = 3.2245 + 1.9659 x

m = 1 집단의 절편은 m = 0 집단보다 약 17.1611 낮음. 두 집단의 기울기는 같음.

sns.scatterplot(x="x", y="y", hue="m", data=d1)

기울기만 다른 경우

d2 = pd.read_excel("diff_slope.xlsx")
model_d2 = ols("y ~ x + x:m", data=d2).fit()
model_d2.summary()

$R^{2}$ : 0.999
절편: 0.0352, p-value 0.930
x: 2.0266, p-value < 0.001
x:m: 5.4842, p-value < 0.001

m = 0 : \overset{y}{^} = 0.0352 + 2.0266 x

m = 1 : \overset{y}{^} = 0.0352 + 7.5108 x

두 집단은 같은 절편을 공유함. m = 1 집단의 기울기는 m = 0 집단보다 약 5.4842 큼.

sns.scatterplot(x="x", y="y", hue="m", data=d2)

절편과 기울기가 모두 다른 경우

d3 = pd.read_excel("interaction.xlsx")
model_d3 = ols("y ~ x + m + x:m", data=d3).fit()
model_d3.summary()

$R^{2}$ : 0.966
절편: -0.2975, p-value 0.562
x: 2.0403, p-value < 0.001
m: 32.6380, p-value < 0.001
x:m: -3.4909, p-value < 0.001

추정된 전체 회귀식은 다음과 같음.

\overset{y}{^} = - 0.2975 + 2.0403 x + 32.6380 m - 3.4909 x m

집단별 회귀식은 다음과 같음.

m = 0 : \overset{y}{^} = - 0.2975 + 2.0403 x

m = 1 : \overset{y}{^} = 32.3405 - 1.4505 x

m = 0에서는 x가 증가할수록 예측되는 y가 증가함. m = 1에서는 기울기가 -1.4505로 바뀌어 x가 증가할수록 예측되는 y가 감소함.

sns.scatterplot(x="x", y="y", hue="m", data=d3)

퀴즈

문제 1 / 6맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 6

교호작용(interaction)에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

○한 독립변수와 종속변수의 관계가 다른 독립변수의 값에 따라 달라지는 현상
○두 독립변수의 주효과를 서로 독립적으로 추정하는 상황
○한 독립변수의 효과가 다른 독립변수와 무관하게 일정한 상황
○범주형 독립변수를 여러 개의 지시변수로 바꾸는 절차

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

교호작용(interaction)에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

집단별 회귀선의 기울기가 서로 같을 때와 다를 때를 비교해 보세요.

한 독립변수와 종속변수의 관계가 다른 독립변수의 값에 따라 달라지는 현상두 독립변수의 주효과를 서로 독립적으로 추정하는 상황한 독립변수의 효과가 다른 독립변수와 무관하게 일정한 상황범주형 독립변수를 여러 개의 지시변수로 바꾸는 절차

한 독립변수와 종속변수의 관계가 다른 독립변수의 값에 따라 달라지는 현상

statsmodels 관계식에서 x와 m의 교호작용항을 쓰는 표기는?

*로 쓴 축약식을 전개했을 때 두 주효과 외에 추가되는 항을 떠올려 보세요.

x:mx/mx | mx = m

x:m

관계식에서 x*m과 같은 의미는?

*는 두 변수의 주효과와 교호작용항을 함께 포함하는 축약 표기입니다.

x + m + x:mx:m만 포함x + m만 포함x - m

x + m + x:m

y ~ x + m으로 해석할 수 있는 내용을 모두 고르세요.

교호작용항이 없으면 집단별 선은 평행하게 해석됩니다.

m에 따라 절편이 달라질 수 있다m = 0과 m = 1의 기울기는 같다x:m 교호작용항은 포함되지 않는다x의 효과가 m에 따라 반드시 달라진다

m에 따라 절편이 달라질 수 있다, m = 0과 m = 1의 기울기는 같다, x:m 교호작용항은 포함되지 않는다

y ~ x + m + x:m에 대한 설명으로 맞는 것을 모두 고르세요.

주효과와 교호작용항이 함께 있을 때 집단별 회귀선의 위치와 기울기를 모두 다르게 둘 수 있습니다.

m의 주효과는 x = 0에서의 절편 차이를 나타낼 수 있다x:m은 x의 기울기 차이를 나타낼 수 있다절편과 기울기가 모두 달라지는 모형으로 해석할 수 있다x와 m은 모두 종속변수로 해석된다

m의 주효과는 x = 0에서의 절편 차이를 나타낼 수 있다, x:m은 x의 기울기 차이를 나타낼 수 있다, 절편과 기울기가 모두 달라지는 모형으로 해석할 수 있다

절편과 기울기가 모두 다른 경우를 적합하는 코드로 맞는 것은?

집단별 회귀선의 위치와 기울기를 모두 다르게 추정하려면 주효과와 교호작용항이 함께 필요합니다.

model_d3 = ols("y ~ x + m + x:m", data=d3).fit()model_d3 = ols("y ~ x", data=d3).fit()model_d3 = ols("m ~ y + x", data=d3).fit()model_d3 = pd.read_excel("interaction.xlsx").fit()

model_d3 = ols("y ~ x + m + x:m", data=d3).fit()