I-function

실습 데이터

중고차 데이터 car.xlsx를 불러와 회귀 모형을 적합함.

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols

df_car = pd.read_excel("car.xlsx")
df_car.head()

`I` 함수

관계식의 +, *, ** 등은 모형 항을 구성하는 특별한 문법
I()로 감싸면 괄호 안의 식을 산술 연산으로 계산
다음 모형은 두 손해액의 합을 하나의 독립변수로 사용

combined_damage_model = ols(
    "price ~ I(my_car_damage + other_car_damage)",
    data=df_car,
).fit()
combined_damage_model.summary()

실행 결과는 다음과 같음.

price = 941.2977 - 2.123 \times 1 0^{- 5} (my_car_damage + other_car_damage)

합산 손해액의 회귀계수: $- 2.123 \times 1 0^{- 5}$ , $p < .001$
결정계수: $R^{2} = 0.155$
두 손해액을 먼저 더하므로 두 변수에 동일한 회귀계수가 적용됨

두 손해액의 회귀계수를 따로 추정하면 다음과 같음.

separate_damage_model = ols(
    "price ~ my_car_damage + other_car_damage",
    data=df_car,
).fit()
separate_damage_model.summary()

price = 968.9866 - 4.120 \times 1 0^{- 5} my_car_damage - 1.094 \times 1 0^{- 5} other_car_damage

my_car_damage: $p < .001$
other_car_damage: $p = .007$
결정계수: $R^{2} = 0.197$
두 손해액과 가격의 관계가 서로 다를 수 있도록 허용한 모형

제동거리 데이터

speed.xlsx의 속도(speed)와 제동거리(dist)를 사용함.

speed: 자동차 속도, mph
dist: 정지할 때까지의 제동거리, ft

sp = pd.read_excel("speed.xlsx")
sp.head()

2차항의 추가

다음과 같은 2차 모형을 관계식으로 만들 수 있음

y = w_{2} x^{2} + w_{1} x + b

거듭제곱에는 **를 사용

ols("y ~ I(x**2) + x", data=df).fit()

관계식에서 $x^{2}$ 은 I(x**2)로 표현함. 먼저 속도의 선형항을 사용한 모형을 적합함.

linear_speed_model = ols("dist ~ speed", data=sp).fit()
linear_speed_model.summary()

dist = - 17.5791 + 3.9324 speed

speed의 회귀계수: $3.9324$ , $p < .001$
결정계수: $R^{2} = 0.6511$ , 수정 $R^{2} = 0.6438$
AIC: 417.16

다음 모형은 선형항을 제외하고 속도의 2차항만 사용함.

squared_speed_model = ols(
    "dist ~ I(speed ** 2)",
    data=sp,
).fit()
squared_speed_model.summary()

dist = 8.8600 + 0.1290 speed^{2}

2차항의 회귀계수: $0.1290$ , $p < .001$
결정계수: $R^{2} = 0.6659$ , 수정 $R^{2} = 0.6589$
AIC: 414.99
이 표본에서는 2차항만 사용한 모형의 $R^{2}$ 가 더 높고 AIC가 더 낮음
dist ~ I(speed ** 2)는 선형항을 포함하지 않는 모형임

절편이 없는 모형

관계식에 0 +를 추가하면 절편을 제외함. 먼저 선형항만 사용한 모형을 적합함.

no_intercept_linear_model = ols(
    "dist ~ 0 + speed",
    data=sp,
).fit()
no_intercept_linear_model.summary()

dist = 2.9091 speed

speed의 회귀계수: $2.9091$ , $p < .001$
비중심 결정계수: $R_{uncentered}^{2} = 0.8963$
수정 비중심 결정계수: $0.8942$
AIC: 421.75

다음 모형은 절편을 제외하고 선형항과 2차항을 함께 사용함.

no_intercept_quadratic_model = ols(
    "dist ~ 0 + I(speed ** 2) + speed",
    data=sp,
).fit()
no_intercept_quadratic_model.summary()

dist = 1.2390 speed + 0.0901 speed^{2}

speed의 회귀계수: $1.2390$ , $p = .032$
2차항의 회귀계수: $0.0901$ , $p = .004$
비중심 결정계수: $R_{uncentered}^{2} = 0.9133$
수정 비중심 결정계수: $0.9097$
AIC: 414.80
두 무절편 모형 중 선형항과 2차항을 함께 사용한 모형의 적합도가 더 높음

절편이 있는 모형의 결정계수는 다음과 같음.

R^{2} = 1 - \frac{\sum _{i} ( y _{i} - y ^ _{i} ) ^{2}}{\sum _{i} ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

statsmodels는 절편이 없는 모형에서 비중심 결정계수를 출력함.

R_{uncentered}^{2} = 1 - \frac{\sum _{i} ( y _{i} - y ^ _{i} ) ^{2}}{\sum _{i} y _{i}^{2}}

절편이 있는 모형의 결정계수와 비중심 결정계수는 기준이 다르므로 직접 비교하지 않음. 같은 비중심 결정계수를 사용하는 두 무절편 모형끼리는 비교 가능.

절편의 기준점 이동

절편은 독립변수가 0일 때의 예측치임. year에서 2010을 빼면 2010년을 새로운 기준점으로 설정 가능.

year_model = ols("price ~ year", data=df_car).fit()
centered_year_model = ols(
    "price ~ I(year - 2010)",
    data=df_car,
).fit()
centered_year_model.summary()

원래 모형의 절편: $- 213508.6444$
기준점 이동 후 절편: $505.0926$
두 모형의 기울기: $106.4745$
두 모형의 결정계수: $R^{2} = 0.6871$
기준점 이동 후 절편은 2010년 차량의 예측 가격
기울기, 적합값, 잔차, 결정계수는 변하지 않음

퀴즈

문제 1 / 2맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 2

I 함수를 사용하는 이유로 가장 적절한 것은?

○관계식 안에서 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 같은 계산을 의도대로 적용하기 위해
○회귀분석 결과표를 이미지로 저장하기 위해
○모든 결측값을 자동으로 제거하기 위해
○모형의 독립변수를 무조건 하나만 남기기 위해

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

I 함수를 사용하는 이유로 가장 적절한 것은?

수식 문법에서 연산자를 특별한 의미가 아니라 계산으로 처리하게 합니다.

관계식 안에서 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 같은 계산을 의도대로 적용하기 위해회귀분석 결과표를 이미지로 저장하기 위해모든 결측값을 자동으로 제거하기 위해모형의 독립변수를 무조건 하나만 남기기 위해

관계식 안에서 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 같은 계산을 의도대로 적용하기 위해

절편 처리에 대한 설명으로 맞는 것을 모두 고르세요.

절편은 설명변수가 0일 때의 예측값이므로 기준점을 옮기면 해석이 달라집니다.

y ~ 0 + x는 절편이 없는 모형을 나타낸다절편이 있을 때와 없을 때는

R^{2}

계산 기준이 다르다I(year - 2010)처럼 변수를 이동하면 절편의 해석 기준점을 바꿀 수 있다절편을 이동하면 분석 결과의 모든 기울기가 반드시 0이 된다

y ~ 0 + x는 절편이 없는 모형을 나타낸다, 절편이 있을 때와 없을 때는

R^{2}