자기상관

주요 개념

자기상관함수(ACF)
차분
계절적으로 조정된 데이터
추세와 계절성을 제거한 나머지 성분

자기상관함수

자기상관함수(ACF, Autocorrelation Function): 1시점, 2시점, 3시점 등의 간격으로 자기상관을 구한 것
시차 $k$ : 비교하는 두 관측값 사이의 시간 간격
$r_{k}$ : 시차 $k$ 에서의 자기상관계수
시계열의 정상성·계절성 등 구조를 탐색하는 데 사용

무작위로 움직이는 경우

무작위 시계열의 ACF에서 대부분의 자기상관이 0 근처에 있는 예

양의 자기상관이 있는 경우

가까운 시차에서 양의 상관이 높고 시차가 커지면서 감소하는 ACF의 예

추세가 있는 비정상 시계열

추세가 있는 비정상 시계열에서 큰 시차까지 자기상관이 천천히 감소하는 예

실습 프롬프트

🤖 AI 프롬프트

washington_temp.xlsx로 월평균 기온을 구하고 ACF로 계절 패턴을 살펴봐줘.
전년 같은 달과의 차분, 계절 조정, 추세와 계절 성분을 제거한 뒤의 ACF를 비교하고 남은 자기상관을 설명해줘.

실습 준비

실습 데이터 다운로드: washington_temp.xlsx

washington_temp.xlsx: 워싱턴 DC 기온 데이터
Year, Month, Day: 연·월·일
AvgTemperature: 일별 평균 기온. 화씨(°F) 단위를 유지

import pandas as pd
temp = pd.read_excel('washington_temp.xlsx')
temp.head()

실행 결과

   Unnamed: 0         Region Country     State           City  Month  Day  \
0     1687055  North America      US  Maryland  Washington DC      1    1   
1     1687056  North America      US  Maryland  Washington DC      1    2   
2     1687057  North America      US  Maryland  Washington DC      1    3   
3     1687058  North America      US  Maryland  Washington DC      1    4   
4     1687059  North America      US  Maryland  Washington DC      1    5   

   Year  AvgTemperature  
0  1995            40.6  
1  1995            39.8  
2  1995            29.3  
3  1995            33.0  
4  1995            20.9

날짜 인덱스 설정

컬럼으로 나뉜 연·월·일을 하나의 날짜로 결합

temp['date'] = pd.to_datetime(temp[['Year', 'Month', 'Day']])

날짜를 행 인덱스로 지정

temp.set_index('date', inplace=True)

월평균 기온

월별로 묶어 평균 기온 계산
ME: 월말을 기준으로 결과 표시

monthly = temp.resample('ME').AvgTemperature.mean()
monthly.head()

실행 결과

date
1995-01-31    38.903226
1995-02-28    34.017857
1995-03-31    49.200000
1995-04-30    55.916667
1995-05-31    65.267742
Freq: ME, Name: AvgTemperature, dtype: float64

monthly.plot()

실행 결과

<Axes: xlabel='date'>
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

1년 간격으로 반복되는 계절 패턴이 나타나는 월평균 기온

ACF 구하기

acf(): 시차별 자기상관계수를 배열로 반환
배열의 첫 값은 시차 0의 자기상관인 1
월별 자료에서 배열의 인덱스 6과 12는 각각 6개월과 12개월 시차

from statsmodels.tsa.stattools import acf
acf_values = acf(monthly)
acf_values

실행 결과

array([ 1.        ,  0.83115217,  0.47467309,  0.00663062, -0.46502868,
       -0.80701026, -0.92863316, -0.79835449, -0.45824698,  0.00253566,
        0.46149188,  0.79540151,  0.91171097,  0.7838514 ,  0.44951811,
       -0.00177934, -0.44842724, -0.77479739, -0.88350088, -0.76231924,
       -0.43924376,  0.00369917,  0.43941603,  0.76217074,  0.87282319])

acf_values[6]  # 6개월 시차

실행 결과

np.float64(-0.9286331582763904)

6개월 시차의 자기상관: 약 -0.929. 강한 음의 상관

acf_values[12]  # 12개월 시차

실행 결과

np.float64(0.9117109695809359)

12개월 시차의 자기상관: 약 +0.912. 강한 양의 상관

ACF 시각화

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(monthly);

실행 결과

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

6개월 시차의 음의 상관과 12개월 시차의 양의 상관이 반복되는 월평균 기온의 ACF

하늘색 음영: 기본 설정에서 0을 중심으로 표시한 시차별 약 95% 신뢰구간
막대가 음영 밖에 있으면 해당 시차의 자기상관이 0과 다르다는 통계적 증거
시차가 커지면 비교에 사용할 수 있는 관측값 쌍의 수는 감소
신뢰구간의 폭은 자료와 계산 방식에 따라 달라지며, 이 그래프에서는 시차가 커질수록 넓어지는 모습

차분

차분(differencing): 일정 시차를 둔 관측값의 차이
월별 자료의 1차 차분: 전월 대비 변화량
추세를 줄여 비정상 시계열을 정상 시계열로 만드는 데 활용
차분만으로 정상성이 항상 보장되지는 않으며 처리 후의 구조를 확인
dropna(): 이전 값이 없어 차이를 계산하지 못한 관측값 제외

diff1 = monthly.diff().dropna()
diff1.plot()

실행 결과

<Axes: xlabel='date'>
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

전월 대비 차이를 계산한 월평균 기온의 1차 차분

계절성 차분

12개월, 즉 1년 간격의 차이
전년 동월 대비 변화량

diff_season = monthly.diff(12).dropna()
diff_season.plot()

실행 결과

<Axes: xlabel='date'>
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

전년 동월 대비 차이를 계산한 기온의 계절성 차분

ACF로 차분 후의 구조 확인

plot_acf(diff_season)

실행 결과

<Figure size 640x480 with 1 Axes>
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

계절성 차분 후 반복되는 계절 패턴이 크게 줄어든 ACF

원자료의 뚜렷한 1년 반복 패턴은 크게 줄어듦
12개월 시차에는 강한 음의 자기상관이 남아 있으므로, 계절성 차분 뒤에도 자기상관이 모두 사라진 것은 아님
남은 자기상관이 있는지 확인하며, 추세와 계절성이 완전히 없어졌다고 단정하지 않음

시계열 분해

추세 성분: 이동 평균으로 추정
계절 성분: 추세를 제거한 뒤 같은 월의 값을 평균하여 추정
period=12: 월별 기온의 1년 주기

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
result = seasonal_decompose(monthly, model='additive', period=12)  # 1년 주기
result.plot();

실행 결과

<Figure size 640x480 with 4 Axes>

월평균 기온을 추세·계절·나머지 성분으로 분해한 결과

계절적으로 조정된 데이터

원자료에서 계절 성분을 제거
추세와 나머지 성분은 남음
계절성 차분: 이번 달 관측값에서 전년 같은 달의 관측값을 빼서 전년 동월 대비 변화량 계산
계절 조정: 이번 달 관측값에서 추정한 해당 월의 계절 효과를 빼서 계절적 변동을 제거

adjusted = monthly - result.seasonal
adjusted.plot()

실행 결과

<Axes: xlabel='date'>
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

월평균 기온에서 계절 성분을 제거한 데이터

계절성을 제거한 데이터의 ACF 확인

acf(adjusted)

실행 결과

array([ 1.00000000e+00,  2.14233789e-01,  8.15215920e-02,  1.54031280e-01,
        9.70121031e-02,  7.34873474e-02,  8.79033046e-02,  1.10419001e-01,
        9.08235133e-02,  7.57487206e-02,  4.98248655e-02,  6.54641069e-02,
       -1.42514574e-04, -2.47279373e-02, -1.21964401e-02,  5.85073666e-03,
        1.08357905e-02, -2.37432895e-02,  1.17279651e-01,  9.09467861e-02,
        4.92307456e-02,  8.81561135e-02,  2.96397517e-02,  1.14550513e-01,
        3.16866370e-03])

plot_acf(adjusted);

실행 결과

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

계절적으로 조정된 기온 데이터의 ACF

나머지 성분

result.resid: 추세와 계절 성분을 제거한 나머지 성분
중심 이동 평균을 계산할 자료가 부족한 양쪽 끝에서는 NaN
ACF 계산에 사용할 나머지 성분은 dropna()로 결측값을 제외한 뒤 detrended에 저장

detrended = result.resid.dropna()
result.resid.plot();  # 추세와 계절성을 제거한 나머지 성분

실행 결과

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

추세와 계절성을 제거한 기온 데이터의 나머지 성분

acf(detrended)

실행 결과

array([ 1.        , -0.00129878, -0.17042366, -0.07008368, -0.14659238,
       -0.205082  , -0.08696299,  0.07628511,  0.08008361,  0.04311102,
        0.0296882 ,  0.05984403, -0.01926409, -0.07632135, -0.04750796,
       -0.03638691, -0.01210258, -0.08175267,  0.09464654,  0.08010255,
        0.01442105,  0.04091389, -0.02870085,  0.04893728, -0.09520925])

plot_acf(detrended);

실행 결과

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

결측값을 제외한 나머지 성분의 ACF

추세와 계절성을 제거한 뒤에도 남은 시간적 관계를 ACF로 확인
이 결과에서는 2·4·5개월 시차의 막대가 음의 방향으로 신뢰구간을 벗어나, 해당 시차에 음의 자기상관이 남아 있는 모습
계절 패턴을 줄이거나 추세·계절 성분을 분해해도 자기상관이 모두 없어지는 것은 아님

퀴즈

문제 1 / 7맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 7

자기상관함수(ACF)가 나타내는 것은 무엇인가요?

○서로 다른 두 변수 사이의 상관계수
○시계열에서 각 시차만큼 떨어진 관측값 사이의 상관계수
○각 연도의 관측값 평균
○각 시점의 관측값과 전체 평균의 차이

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

자기상관함수(ACF)가 나타내는 것은 무엇인가요?

같은 변수의 값을 시간 간격을 달리해 비교합니다.

서로 다른 두 변수 사이의 상관계수시계열에서 각 시차만큼 떨어진 관측값 사이의 상관계수각 연도의 관측값 평균각 시점의 관측값과 전체 평균의 차이

시계열에서 각 시차만큼 떨어진 관측값 사이의 상관계수

월평균 기온에서 6개월 시차의 자기상관이 음수이고 12개월 시차의 자기상관이 양수인 결과는 어떤 패턴과 잘 맞나요?

겨울에서 반년 뒤와 1년 뒤의 계절을 생각합니다.

매달 동일한 값이 유지되는 패턴관측값이 시간순서와 관계없이 변하는 패턴반년 뒤에는 반대 계절, 1년 뒤에는 같은 계절이 반복되는 패턴해마다 기온이 한 방향으로만 증가하는 패턴

반년 뒤에는 반대 계절, 1년 뒤에는 같은 계절이 반복되는 패턴

ACF 그래프의 막대가 0을 중심으로 한 신뢰구간 밖에 있을 때의 해석으로 가장 적절한 것은 무엇인가요?

그래프의 각 막대는 특정 시차 하나에 대한 결과입니다.

해당 시차의 자기상관이 0과 다르다는 통계적 증거가 있다.시계열의 모든 시차에서 자기상관이 있다.시계열이 정상 시계열이라는 사실이 증명된다.추세와 계절성이 모두 제거되었다는 사실이 증명된다.

해당 시차의 자기상관이 0과 다르다는 통계적 증거가 있다.

월별 자료에서 monthly.diff(12)가 계산하는 것은 무엇인가요?

주어진 숫자는 월별 관측값을 몇 칸 뒤로 옮겨 비교할지를 뜻합니다.

현재 월과 이전 달 값의 차이현재 월과 12개월 평균의 차이현재 연도와 전체 기간 평균의 차이현재 월과 전년 같은 월 값의 차이

현재 월과 전년 같은 월 값의 차이

차분 후의 ACF를 다시 확인하는 이유는 무엇인가요?

변환을 적용했다는 사실만으로 시간적 관계가 모두 사라졌다고 판단할 수는 없습니다.

차분하면 관측 단위가 자동으로 바뀌기 때문에남은 자기상관과 반복 패턴이 있는지 확인하기 위해차분 과정에서 삭제된 첫 관측값을 복원하기 위해원자료의 평균 기온을 직접 계산하기 위해

남은 자기상관과 반복 패턴이 있는지 확인하기 위해

덧셈 분해에서 계절적으로 조정된 데이터에 남는 성분은 무엇인가요?

원자료에서 계절 성분을 빼고 남는 부분을 생각합니다.

계절 성분과 나머지 성분추세 성분과 계절 성분추세 성분과 나머지 성분계절 성분만

추세 성분과 나머지 성분

나머지 성분의 ACF를 계산하는 실습에 대한 올바른 설명을 모두 고르세요.

계절 성분만 제거한 adjusted와 추세도 제거한 result.resid를 구별하고, 계산 가능한 관측값을 사용합니다.

나머지 성분은 추세와 계절 성분을 제거한 값이다.고전적 분해의 양쪽 끝에 생긴 결측값은 ACF 계산 전에 제외한다.나머지 성분은 계절적으로 조정된 데이터와 항상 같은 값이다.나머지 성분에는 모든 시차의 자기상관이 반드시 0이다.

나머지 성분은 추세와 계절 성분을 제거한 값이다., 고전적 분해의 양쪽 끝에 생긴 결측값은 ACF 계산 전에 제외한다.