시계열 분해

주요 개념

덧셈 분해
곱셈 분해
고전적 분해법
추세와 계절성의 강도

덧셈 분해

덧셈 분해(additive decomposition): 관측값을 계절·추세·나머지 성분의 합으로 표현

y_{t} = S_{t} + T_{t} + R_{t}

$y_{t}$ : 종속 변수의 관측값
$S_{t}$ : 계절 성분
$T_{t}$ : 추세 성분. 주기 성분을 포함
$R_{t}$ : 나머지 성분

곱셈 분해

곱셈 분해(multiplicative decomposition): 관측값을 계절·추세·나머지 성분의 곱으로 표현

y_{t} = S_{t} \times T_{t} \times R_{t}

$y_{t}$ : 종속 변수의 관측값
$S_{t}$ : 계절 성분
$T_{t}$ : 추세 성분. 주기 성분을 포함
$R_{t}$ : 나머지 성분

분해 방법 선택

덧셈 분해: 시계열의 수준이 달라져도 계절 변동의 폭이 대체로 일정한 경우
곱셈 분해: 시계열의 수준이 높아질수록 계절 변동의 폭도 비례하여 커지는 경우

전자 장비 주문

전자 장비에 대한 신규 주문 지수 데이터
유럽 지역 16개국의 컴퓨터·전자·광학 제품 신규 주문량
근무일 기준으로 조정
2005년 값이 100이 되도록 조정

유럽 지역 전자 장비 신규 주문 지수의 원자료와 추세·주기

실습 프롬프트

🤖 AI 프롬프트

elecequip.xlsx의 월별 전자 장비 주문 지수를 고전적 덧셈 분해로 추세·계절·나머지 성분으로 나눠줘.
계절 효과를 제거한 데이터를 그려주고, 추세와 계절성의 강도를 계산해 해석해줘.

실습 준비

실습 데이터 다운로드: elecequip.xlsx

elecequip.xlsx: 행은 연도, 열은 월 형태의 데이터

import pandas as pd
df = pd.read_excel('elecequip.xlsx')
df.head()

실행 결과

   year    Jan    Feb     Mar     Apr     May     Jun     Jul    Aug     Sep  \
0  1996  79.35  75.78   86.32   72.60   74.86   83.81   79.80  62.41   85.41   
1  1997  78.64  77.42   89.86   81.27   78.68   89.51   83.67  69.80   91.09   
2  1998  81.87  85.36   92.98   81.09   85.64   91.14   83.46  66.37   93.34   
3  1999  81.59  81.77   91.24   79.45   86.99   96.60   97.99  79.13  103.56   
4  2000  95.30  97.77  116.23  100.98  104.07  114.64  107.62  96.12  123.50   

      Oct     Nov     Dec  
0   83.11   84.21   89.70  
1   89.43   91.04   92.87  
2   85.93   86.81   93.30  
3  100.89   99.40  111.80  
4  116.12  116.86  128.61

pd.melt(): 월별 열을 연·월별 행으로 변환
id_vars: 유지할 식별 컬럼
var_name: 기존 열 이름을 담을 컬럼
value_name: 관측값을 담을 컬럼

long_form = pd.melt(df, id_vars=['year'], var_name='month', value_name='demand')
long_form.head()

실행 결과

   year month  demand
0  1996   Jan   79.35
1  1997   Jan   78.64
2  1998   Jan   81.87
3  1999   Jan   81.59
4  2000   Jan   95.30

월 순서대로 정렬

월을 순서가 있는 범주형 데이터로 변환
문자열의 사전순 대신 1월부터 12월까지의 달력 순서 사용

months = ['Jan', 'Feb', 'Mar', 'Apr', 'May', 'Jun',
          'Jul', 'Aug', 'Sep', 'Oct', 'Nov', 'Dec']
long_form['month'] = pd.Categorical(long_form['month'], categories=months, ordered=True)

연·월순 정렬 → 값이 비어 있는 행 삭제 → 행 번호 재지정
drop=True: 기존 인덱스를 새 컬럼으로 남기지 않음

ym = long_form.sort_values(['year', 'month']).dropna().reset_index(drop=True)
ym.head()

실행 결과

   year month  demand
0  1996   Jan   79.35
1  1996   Feb   75.78
2  1996   Mar   86.32
3  1996   Apr   72.60
4  1996   May   74.86

피벗 테이블

행은 year, 열은 month, 값은 demand가 되도록 표 생성

wide_form = long_form.pivot_table(
    index='year', columns='month', values='demand',
    observed=False)  # 모든 월 범주를 기준으로 표 구성
wide_form

실행 결과

month     Jan     Feb     Mar     Apr     May     Jun     Jul    Aug     Sep  \
year                                                                           
1996    79.35   75.78   86.32   72.60   74.86   83.81   79.80  62.41   85.41   
1997    78.64   77.42   89.86   81.27   78.68   89.51   83.67  69.80   91.09   
1998    81.87   85.36   92.98   81.09   85.64   91.14   83.46  66.37   93.34   
1999    81.59   81.77   91.24   79.45   86.99   96.60   97.99  79.13  103.56   
2000    95.30   97.77  116.23  100.98  104.07  114.64  107.62  96.12  123.50   
2001   100.56  103.05  119.06   92.46   98.75  111.14   96.13  79.72  102.07   
2002    89.52   89.27  104.35   87.05   89.33  102.20   88.13  75.68   99.48   
2003    89.34   86.91   98.90   85.54   85.25  101.14   91.80  76.98  104.33   
2004    89.88   92.27  105.11   91.50   92.56  104.35   96.21  79.58  105.43   
2005    91.65   90.56  105.52   92.18   91.22  109.04   99.26  83.36  110.80   
2006    99.16   99.86  116.14  103.48  103.07  119.32  107.94  90.59  121.80   
2007   103.93  104.10  125.72  104.70  108.45  123.11  108.89  94.07  121.88   
2008   109.45  105.23  121.32  108.78  103.20  117.93  103.76  89.27  109.50   
2009    77.38   75.19   86.40   74.13   74.10   85.61   79.90  65.36   88.09   
2010    79.28   78.74   94.62   84.66   85.20  103.94   89.87  78.14   96.50   
2011    92.57   89.16  104.48   89.45   93.40  102.90   93.77  77.58   95.04   
2012    86.44   85.04   97.80     NaN     NaN     NaN     NaN    NaN     NaN   

month     Oct     Nov     Dec  
year                           
1996    83.11   84.21   89.70  
1997    89.43   91.04   92.87  
1998    85.93   86.81   93.30  
1999   100.89   99.40  111.80  
2000   116.12  116.86  128.61  
2001    96.18  101.26  109.85  
2002    96.40   96.16  101.00  
2003    99.72  101.06  109.00  
2004    99.18   99.77  113.55  
2005   104.95  107.07  114.40  
2006   117.11  113.71  120.37  
2007   116.81  115.87  127.14  
2008   104.02  100.12  101.18  
2009    84.60   88.09  102.52  
2010    94.68  101.77  103.48  
2011    91.77   93.37   98.34  
2012      NaN     NaN     NaN

고전적 분해법

1920년대에 창안된 단순한 방법으로 다른 시계열 분해 방법의 기초
계절 성분이 매년 일정하다고 가정

덧셈 분해의 단계

이동 평균으로 추세 성분 계산
시계열에서 추세 성분 제거
같은 계절 위치의 값을 평균하여 계절 성분 계산
- 예: 분기, 월, 요일
시계열에서 추세와 계절 성분을 제거하여 나머지 성분 계산

곱셈 분해의 단계

성분을 제거할 때 뺄셈 대신 나눗셈 사용
양수인 시계열에 로그를 취하면 덧셈 관계로 표현 가능
- 로그 척도에서 분해한 성분을 지수 변환하면 곱셈 관계로 돌아감

덧셈 분해 실습

seasonal_decompose(): 이동 평균을 이용한 고전적 분해
model='additive': 덧셈 분해
period=12: 월별 데이터의 1년 주기

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
result = seasonal_decompose(ym['demand'], model='additive', period=12)  # 1년 주기
result.plot();

실행 결과

<Figure size 640x480 with 4 Axes>

전자 장비 주문 지수를 관측값·추세·계절·나머지 성분으로 고전적 분해한 결과

그래프 순서: 관측값(demand), 추세(Trend), 계절 성분(Seasonal), 나머지 성분(Resid)

성분별 보기

추세 성분

result.trend

실행 결과

0     NaN
1     NaN
2     NaN
3     NaN
4     NaN
       ..
190   NaN
191   NaN
192   NaN
193   NaN
194   NaN
Name: trend, Length: 195, dtype: float64

계절 성분

result.seasonal

실행 결과

0      -5.887662
1      -6.199273
2       8.083171
3      -6.314968
4      -4.818468
         ...    
190     3.847366
191    11.447504
192    -5.887662
193    -6.199273
194     8.083171
Name: seasonal, Length: 195, dtype: float64

1월의 계절 성분은 약 $- 5.89$ : 추세·주기 수준에 비해 주문 지수가 약 5.89포인트 낮아지는 계절 효과

나머지 성분

result.resid

실행 결과

0     NaN
1     NaN
2     NaN
3     NaN
4     NaN
       ..
190   NaN
191   NaN
192   NaN
193   NaN
194   NaN
Name: resid, Length: 195, dtype: float64

중심 이동 평균을 계산할 자료가 부족한 양쪽 끝에서는 추세와 나머지 성분이 NaN

계절적 조정

슬라이드에 제시된 전자 장비 주문 지수의 계절적 조정 예시

위 그림은 슬라이드의 예시
아래 실습에서는 고전적 분해 결과를 사용하여 계절적으로 조정한 값을 직접 계산
관측값에서 계절 성분을 제거

adjusted = ym.demand - result.seasonal
adjusted

실행 결과

0      85.237662
1      81.979273
2      78.236829
3      78.914968
4      79.678468
         ...    
190    89.522634
191    86.892496
192    92.327662
193    91.239273
194    89.716829
Length: 195, dtype: float64

추세와 나머지 성분을 더하는 방법도 가능

result.trend + result.resid

실행 결과

0     NaN
1     NaN
2     NaN
3     NaN
4     NaN
       ..
190   NaN
191   NaN
192   NaN
193   NaN
194   NaN
Length: 195, dtype: float64

두 방법은 추세와 나머지 성분이 추정된 구간에서 같음
두 번째 방법은 추세가 NaN인 양쪽 끝도 NaN
아래 그래프는 관측값에서 계절 성분을 뺀 adjusted를 사용

adjusted.plot()

실행 결과

<Axes: >
<Figure size 640x480 with 1 Axes>

고전적 분해의 계절 성분을 관측값에서 빼서 실제 계산한 계절 조정 데이터

추세의 강도

계절성을 조정한 데이터 $T_{t} + R_{t}$ 의 분산과 나머지 성분 $R_{t}$ 의 분산을 비교
0~1 범위의 값. 계산값이 음수이면 0으로 처리
0에 가까울수록 추세가 약하고, 1에 가까울수록 추세가 강함

F_{T} = max (0, 1 - \frac{Var ( R _{t} )}{Var ( T _{t} + R _{t} )})

이 실습에서는 앞에서 구한 고전적 분해 결과 result에 적용

max(0, 1 - result.resid.var() / (result.trend + result.resid).var())

실행 결과

np.float64(0.9387435387853423)

추세 강도: 약 0.939. 1에 가까운 값

계절성의 강도

추세를 제거한 데이터 $S_{t} + R_{t}$ 의 분산과 나머지 성분 $R_{t}$ 의 분산을 비교
0~1 범위의 값. 계산값이 음수이면 0으로 처리
0에 가까울수록 계절성이 약하고, 1에 가까울수록 계절성이 강함

F_{S} = max (0, 1 - \frac{Var ( R _{t} )}{Var ( S _{t} + R _{t} )})

max(0, 1 - result.resid.var() / (result.seasonal + result.resid).var())

실행 결과

np.float64(0.9067436715383737)

계절성 강도: 약 0.907. 1에 가까운 값
두 강도 지표는 분모의 분산이 양수인 경우에 정의
var()는 NaN을 제외하므로, 이 실습에서는 나머지 성분이 추정된 구간으로 계산

퀴즈

문제 1 / 8맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 8

덧셈 분해에서 관측값을 올바르게 표현한 것은 무엇인가요?

○관측값 = 계절 성분 + 추세 성분 + 나머지 성분
○관측값 = 계절 성분 × 추세 성분 × 나머지 성분
○관측값 = 추세 성분 − 계절 성분 − 나머지 성분
○관측값 = 나머지 성분 ÷ 계절 성분 ÷ 추세 성분

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

덧셈 분해에서 관측값을 올바르게 표현한 것은 무엇인가요?

각 성분이 관측값에 더해지는 관계를 생각합니다.

관측값 = 계절 성분 + 추세 성분 + 나머지 성분관측값 = 계절 성분 × 추세 성분 × 나머지 성분관측값 = 추세 성분 − 계절 성분 − 나머지 성분관측값 = 나머지 성분 ÷ 계절 성분 ÷ 추세 성분

관측값 = 계절 성분 + 추세 성분 + 나머지 성분

곱셈 분해에서 추세 성분을 제거하는 방법은 무엇인가요?

관측값을 구성하는 곱셈 관계에서 한 성분을 분리하는 연산을 생각합니다.

관측값에서 추세 성분을 뺀다.관측값을 추세 성분으로 나눈다.관측값에 추세 성분을 곱한다.관측값에 추세 성분을 더한다.

관측값을 추세 성분으로 나눈다.

월별 열이 있는 표에 pd.melt()를 적용하는 목적은 무엇인가요?

분해에 사용할 관측값을 시간순으로 늘어놓기 전에 표의 형태를 바꿉니다.

월별 평균을 계산하여 연도별 한 값으로 줄이기월 이름을 알파벳순으로 정렬하기월별 열을 연·월·관측값으로 구성된 행으로 변환하기계절 성분을 제거한 관측값으로 바꾸기

월별 열을 연·월·관측값으로 구성된 행으로 변환하기

월을 순서가 있는 범주형 데이터로 지정하는 이유는 무엇인가요?

Apr, Aug, Dec처럼 문자열로 정렬했을 때의 순서와 실제 월 순서를 비교합니다.

각 월의 값을 같은 평균으로 맞추기비어 있는 모든 월의 값을 자동으로 채우기같은 월의 값을 한 개의 행으로 합치기월 이름의 사전순 대신 달력 순서로 정렬하기

월 이름의 사전순 대신 달력 순서로 정렬하기

고전적 분해법의 계절 성분에 대한 가정은 무엇인가요?

같은 계절 위치의 값을 여러 해에 걸쳐 평균하는 절차를 생각합니다.

계절 성분은 매년 같은 패턴을 반복한다.계절 성분은 해마다 임의로 변한다.계절 성분은 관측값과 항상 같다.계절 성분은 추세 성분에 포함되어 따로 구하지 않는다.

계절 성분은 매년 같은 패턴을 반복한다.

고전적 덧셈 분해의 단계에 대한 올바른 설명을 모두 고르세요.

추세를 먼저 구하고, 그다음 계절 성분과 나머지를 구하는 덧셈 관계의 절차입니다.

이동 평균으로 추세 성분을 계산한다.추세를 제거한 뒤 같은 계절 위치의 값을 평균하여 계절 성분을 구한다.추세와 계절 성분을 제거하지 않은 원자료를 그대로 나머지 성분으로 사용한다.추세 성분을 제거할 때 관측값을 추세 성분으로 나눈다.

이동 평균으로 추세 성분을 계산한다., 추세를 제거한 뒤 같은 계절 위치의 값을 평균하여 계절 성분을 구한다.

덧셈 분해에서 계절적으로 조정한 데이터는 무엇인가요?

정기적으로 반복되는 변동을 제거하고 추세와 나머지를 남깁니다.

관측값에서 추세 성분을 뺀 데이터관측값에서 계절 성분을 뺀 데이터계절 성분과 나머지 성분을 더한 데이터관측값에서 나머지 성분을 뺀 데이터

관측값에서 계절 성분을 뺀 데이터

계절성 강도가 1에 가까울 때의 의미로 가장 적절한 것은 무엇인가요?

강도는 1에서 나머지 분산의 상대적 크기를 뺀 값입니다.

추세를 제거한 데이터와 나머지 성분의 분산이 거의 같다.계절 성분이 거의 없어 모든 변동이 나머지에 남는다.추세를 제거한 데이터의 분산에 비해 나머지 성분의 분산이 작다.나머지 성분의 분산이 추세를 제거한 데이터의 분산보다 크다.

추세를 제거한 데이터의 분산에 비해 나머지 성분의 분산이 작다.