확률의 기초

표본공간과 사건

• 표본 공간(sample space): 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 모임
• 사건(event): 표본 공간의 부분 집합
• 예) 무작위로 한 학생을 선택하고 "청바지 몇 켤레를 가지고 있습니까?"라고 묻는다면:
  • 표본공간 $S=\{0,1,2,3,\dots \}$
  • 사건:
    • 청바지가 없음: $A=\{0\}$
    • 청바지가 있음: $B=\{1,2,3,\dots \}$
    • 청바지를 5벌 이하 소유: $C=\{1,2,3,4,5\}$
    • 홀수 벌의 청바지 소유: $D=\{1,3,5,\dots \}$

확률의 기초 개념

• 0과 1 사이의 숫자로 사건의 가능성을 표현한 것
  • 0에 가까울수록 가능성이 없고, 1에 가까울수록 가능성이 높음
• 사건 $A$의 확률 $P(A)$는 다음과 같은 성질을 가짐
  • 사건 $A$의 확률은 음이 아닌 실수: $P(A)\ge 0$
  • 표본공간의 확률은 1: $P(S)=1$
  • $A_1,A_2,\dots$가 상호 배타적인 사건일 경우:

$$P(A_1\cup A_2\cup \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$$

사건에 확률을 할당하는 방법

• 수학적 확률
  • $N(S)$: 표본 공간의 크기
  • $N(A)$: 사건 $A$의 크기

$$P(A)=\frac{N(A)}{N(S)}$$

• 통계적 확률
  • 시행을 $n$번 반복했을 때, $A$가 $m$번 발생하면

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

• 주관적 확률
  • 믿음의 정도를 확률로 표현
  • 예) 내가 응원하는 팀이 올해 우승할 확률은 40%다

확률의 성질

$$P(A)=1-P(A^c)$$ $$P(\varphi )=0$$ $$A\subseteq B\to P(A)\le P(B)$$ $$P(A)\le 1$$ $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

조건부 확률과 베이즈 정리

• $A$가 주어진 상태에서 $B$의 확률

$$P(B\mid A)=\frac{P(A,B)}{P(A)}$$

• 베이즈 정리

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$$

조건부 확률의 예

137명의 사람을 검사했을 때의 결과는 다음과 같습니다.

• 양성 반응의 확률

$$P(T^{+})=\frac{44+10}{137}$$

• 질병에 걸릴 확률

$$P(D^{+})=\frac{44+23}{137}$$

• 검사에서 양성 반응을 보였을 때, 질병에 걸렸을 조건부 확률

$$P(D^{+}\mid T^{+})=\frac{44}{44+10}$$

• 질병에 걸렸을 때, 검사에서 양성 반응을 보일 조건부 확률

$$P(T^{+}\mid D^{+})=\frac{44}{44+23}$$

곱셈 규칙

• 곱셈 규칙

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$$

• 연쇄 규칙

$$P(A\cap B\cap C\cap \cdots )=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)P(\cdots \mid A\cap B\cap C)$$

독립 사건

• 사건 $A$, $B$가 독립($A\perp B$)이면

$$P(A\mid B)=P(A)$$

• 그리고

$$P(B\mid A)=P(B)$$

• 두 사건의 곱사건의 확률은

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

• $A\perp B$이면 다음도 성립:
  • $A\perp B^c$
  • $A^c\perp B$
  • $A^c\perp B^c$