이산 확률 분포

확률 변수

• 확률 변수(random variable) $X$: 상태 공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수
  • 예: 실험용 쥐가 수컷과 암컷이 있을 때, 수컷이면 $X=0$, 암컷이면 $X=1$
• 지지역(support): 확률 변수 $X$의 모든 값의 집합
  • 예: 실험용 쥐의 성별의 지지역 $\{0,1\}$

주요 확률 분포의 기초

• 확률 분포: 확률 변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수
• 세상에는 수많은 확률 분포가 존재
• 통계학의 근본 가정 중 하나:
  • 데이터는 어떤 확률 분포에서 비롯
  • 데이터가 나온 확률 분포를 추론하는 것이 통계 분석
• 분석을 쉽게 하기 위해서 수학적으로 단순화, 추상화된 확률 분포들을 많이 사용

이산 확률 변수

• 이산 확률 변수: 표본공간의 원소를 정수에 대응시키는 함수
• 확률 질량 함수

• $x$가 상태 공간에 있을 경우, $X=x$의 확률
• $x$가 지지역에 속하지 않을 경우 $f(x)=0$
• 누적분포함수(cumulative distribution function, CDF)
  • $x$가 $t$ 이하일 모든 경우의 확률

베르누이 분포

• 베르누이 분포(Bernoulli distribution): 동전 던지기와 같이 둘 중에 한 가지 결과만 나올 수 있는 경우
• 동전을 던져 나온 결과가 앞면 $=1$, 뒷면 $=0$이라고 할 때
  • $P(X=1)=p$
  • $P(X=0)=q=1-p$
• 둘 중에 한 가지 결과가 나오는 현상에 모두 적용 가능
  • 고객의 구매/미구매, 이탈/유지
  • 기계의 작동/고장
  • 시험의 합격/불합격

이항 분포

• 이항 분포(binomial distribution): 0과 1만 나오는 시행을 $n$번 했을 때 합계의 분포
• 고객의 구매율이 30%일 때 100명의 고객이 방문하면 그중에 몇 명이 구매?
• 베르누이 분포는 $n=1$인 경우의 이항 분포

이항분포의 확률질량함수와 누적분포함수

• 확률질량함수(probability mass function)
  • 예: 정확히 30명이 구매할 확률

from scipy.stats import binom

binom.pmf(k=30, n=100, p=0.3)

• 실행 결과는 약 0.0868로, 정확히 30명이 구매할 확률은 약 8.68%

• 누적분포함수(cumulative distribution function)

  • 예: 0명~30명이 구매할 확률의 합

binom.cdf(k=30, n=100, p=0.3)

• 실행 결과는 약 0.5491로, 30명 이하가 구매할 확률은 약 54.91%
• 따라서 30명을 초과해 구매할 확률은 약 45.09%

1 - binom.cdf(k=30, n=100, p=0.3)

분위수와 재고량 결정

• 누적확률의 역함수인 ppf를 이용하면 원하는 누적확률에 해당하는 구매자 수를 구할 수 있음

binom.ppf(q=0.95, n=100, p=0.3)

• 실행 결과는 38
• 재고를 38개 확보하면 구매자 수가 재고 이내인 경우가 최소 95%가 됨
• 이는 정확히 38명이 구매할 확률이 95%라는 뜻이 아니라, 구매자 수가 38명 이하일 누적확률이 최소 95%라는 뜻

시뮬레이션

import matplotlib.pyplot as plt

data = binom.rvs(n=100, p=0.3, size=365)
plt.hist(data, bins=40, range=[10, 50])