[linear-algebra] 직교

직교성(Orthogonality)은 두 벡터가 서로 직각을 이루는 관계를 나타냅니다. 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 직교한다는 것은 그들의 내적이 0이 되는 관계, 즉 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$을 만족한다는 것을 의미합니다.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n=0$$

예시: $\mathbf{a}=(1,2)$와 $\mathbf{b}=(-2,1)$는 $1(-2)+2(1)=0$이므로 직교합니다.

벡터 공간의 기저 중에서 모든 기저 벡터가 서로 직교하는 경우를 직교 기저(Orthogonal Bases)라고 합니다.

 

직교 집합

집합 내의 모든 벡터 쌍이 직교하는 경우, 그 집합을 직교 집합(Orthogonal Sets)이라고 합니다. 직교 집합의 예로는 표준 기저 벡터들이 있습니다.

벡터 $\mathbf{a}$를 벡터 $\mathbf{b}$에 직교 투영(Orthogonal Projection)하는 것은 $\mathbf{b}$ 방향으로 $\mathbf{a}$의 성분을 투영하는 것을 의미합니다. 수학적으로, $\mathbf{a}$의 $\mathbf{b}$에 대한 직교 투영은 다음과 같이 계산됩니다.

$${\text{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$$

예시: $\mathbf{a}=(3,4)$와 $\mathbf{b}=(1,0)$에 대해, $\mathbf{a}$의 $\mathbf{b}$에 대한 직교 투영은 $\frac{3}{1}\mathbf{b}=(3,0)$입니다.