[linear-algebra] 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

행렬 곱셈은 두 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱으로 새로운 행렬 $C$ 를 생성하는 과정입니다. 이 연산의 결과로 나타나는 행렬 $C$ 의 각 원소는 $A$ 의 행과 $B$ 의 열 사이의 점곱(dot product)으로 계산됩니다.

가장 간단한 형태의 행렬 곱셈은 1행 짜리 행 벡터와 1열 짜리 열 벡터를 곱하는 것입니다. 예를 들어, 행 벡터 $A = [a_{1} a_{2}]$ 와 열 벡터 $B = [b_{1} b_{2}]$ 를 곱한다고 해보겠습니다.

C = A \cdot B = [a_{1}, a_{2}] \cdot [b_{1} b_{2}] = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

다음의 예를 살펴봅시다.

= = [12] \cdot [34] 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 11

퀴즈

다음 두 행렬을 곱한 결과는 무엇일까요?

[24] \cdot [13]

행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.

C = A \cdot B = A_{1 ∙} \cdot B_{∙ 1} A_{2 ∙} \cdot B_{∙ 1} ⋮ A_{m ∙} \cdot B_{∙ 1} A_{1 ∙} \cdot B_{∙ 2} A_{2 ∙} \cdot B_{∙ 2} ⋮ A_{m ∙} \cdot B_{∙ 2} \dots \dots ⋱ \dots A_{1 ∙} \cdot B_{∙ p} A_{2 ∙} \cdot B_{∙ p} ⋮ A_{m ∙} \cdot B_{∙ p}

따라서 $m \times n$ 행렬과 $n \times p$ 행렬을 곱하면 $m \times p$ 행렬이 생성됩니다. 즉, 첫 번째 행렬의 열 수와 두 번째 행렬의 행 수가 같아야 합니다.

각 원소 $c_{ij}$ 는 $A$ 의 $i$ 번째 행과 $B$ 의 $j$ 번째 열의 점곱입니다.

c_{ij} = A_{i ∙} \cdot B_{∙ j} = k = 1 \sum n a_{ik} \cdot b_{kj}

2x2 행렬의 곱셈을 예시로 살펴보겠습니다.

A = [a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}], B = [b_{11} b_{21} b_{12} b_{22}]

이 두 행렬을 곱하면,

C = A B = [a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}]

퀴즈

다음 두 행렬을 곱한 결과는 무엇일까요?

A = [1324], B = [5768]

행렬 곱셈에서 결합 법칙은 성립합니다. 즉, 세 행렬 $A$ , $B$ , $C$ 에 대해 다음이 항상 참입니다:

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)

이는 행렬 곱셈의 순서를 변경해도 결과 행렬이 동일함을 의미합니다. 이 성질은 복잡한 행렬 연산을 단순화하는 데 유용하게 사용됩니다.

행렬 곱셈은 또한 분배 법칙을 만족합니다. 즉, 행렬 $A$ , $B$ , $C$ 에 대해 다음이 성립합니다:

A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C

(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A

이는 한 행렬을 다른 두 행렬의 합과 곱할 때, 각각을 따로 곱한 후 결과를 더하는 것과 같다는 것을 의미합니다.

행렬 곱셈에서는 교환 법칙이 일반적으로 성립하지 않습니다. 즉, 대부분의 경우 다음이 참입니다:

A \cdot B \neq = B \cdot A

이는 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱셈 결과가 $B$ 와 $A$ 를 곱한 결과와 다를 수 있음을 의미합니다. 때때로 교환 법칙이 성립하는 특별한 경우도 있지만, 그것은 예외적인 상황입니다.

컴퓨터 그래픽스에서 행렬 곱셈은 객체의 회전, 크기 조정, 이동 등을 계산하는 데 핵심적으로 사용됩니다. 예를 들어, 3D 공간에서 객체를 회전시키기 위해 회전 행렬을 객체의 좌표에 적용하는 방식으로 작동합니다.

통계학의 회귀분석은 독립변수의 행렬 $X$ 와 종속변수의 행렬 $Y$ 의 관계를 다음과 같이 행렬의 곱셈 형태로 나타낼 수 있습니다.

Y = X \cdot β