MA 모형

MA(q) 모형은 이전 시점의 오차가 현재 시점의 값에 영향을 준다고 가정하는 모형입니다. q는 영향을 주는 시점의 수를 나타냅니다. 직전 t-1 시점의 오차가 영향을 주면 MA(1) 모형, 직전 t-1과 그 이전 t-2의 오차가 영향을 주면 MA(2) 모형, 등으로 구분합니다.

$$ y_t = \mu + \epsilon_{t} - \theta_1 \epsilon_{t-1} - \cdots - \theta_q \epsilon_{t-q} $$

다음은 MA(1) 모형의 시뮬레이션입니다.

import numpy as np
n = 1000
e = np.random.normal(size=n)
sim = np.zeros(n)
for i in range(1, n):
    sim[i] = 0.5 * e[i-1] + e[i]

이를 시각화하면 아래와 같습니다.

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(sim)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x265b3b35180>]

MA 모형을 따르는 시계열을 ACF를 시각화하면 q 이후에는 0에 가깝게 뚝 떨어지는 특성이 있습니다.

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

plot_acf(sim);

그러나 PACF를 시각화하면 점진적으로 감소하는 형태를 띕니다.

plot_pacf(sim);

MA(q) 모형을 추정해보겠습니다. SARIMAX 함수를 사용합니다. 이 함수는 order라는 인자를 받는데, 순서대로 (p, d, q) 순입니다. p와 d는 다른 모형에 사용되는 차수이므로, 여기서는 0으로 설정합니다. MA(1) 모형을 추정하려면 order=(0, 0, 1)로 설정합니다.

ma.L1 계수가 시뮬레이션에서 설정한 0.5에 가깝게 나오는 것을 볼 수 있습니다.

from statsmodels.tsa.api import SARIMAX
ma1 = SARIMAX(sim, order=(0, 0, 1)).fit()
ma1.summary()

맥주 생산량 데이터를 이용해서 MA 모형으로 추정해보겠습니다.

import pandas as pd
df = pd.read_excel('beer.xlsx')

y = df.production
y.plot()

<Axes: >

MA(1) 모형

ma1 = SARIMAX(y, order=(0, 0, 1)).fit()
ma1.summary() 

실제값과 예측값을 비교

y.plot()
ma1.predict(0, 250).plot()

<Axes: >

MA 모형은 기본적으로 절편 0을 가정합니다. 오차가 없으면 0으로 수렴합니다. trend='c'로 설정하면 절편(intercept)을 추정합니다.

ma1c = SARIMAX(y, order=(0, 0, 1), trend='c').fit()
ma1c.summary()

y.plot()
ma1c.predict(0, 250).plot()

<Axes: >

trend='ct'로 설정하면 절편(intercept)과 시간에 따른 표류(drift)를 추정합니다.

ma1ct = SARIMAX(y, order=(0, 0, 1), trend='ct').fit()
ma1ct.summary()

y.plot()
ma1ct.predict(0, 250).plot()

<Axes: >

MA(2) 모형

ma2 = SARIMAX(y, order=(0, 0, 2), trend='c').fit()
ma2.summary()

C:\Users\eupho\anaconda3\lib\site-packages\statsmodels\tsa\statespace\sarimax.py:978: UserWarning: Non-invertible starting MA parameters found. Using zeros as starting parameters.
  warn('Non-invertible starting MA parameters found.'

y.plot()
ma2.predict(0, 250).plot()

<Axes: >